مقاله دانشجویی

تحقیق پروزه ومفالات دانشجویی

صفحه اول آرشيو مطالب کتاب های دانشگاهی شماره جدید 09217354724

کتب تمامی رشته ها

جزوات تمامی دروس

لینک های مفید

نوشته شده در تاريخ جمعه 15 دی 1391برچسب:,

توسط aryan

تست های فضای متری کارشناسی ارشد ریاضی1-10-کنکورهای مختلف

تست 1(سال 74):1-کدام یک از گزینه های زیر، صحیح نیست؟

1. هر زیر مجموعه ی محدب $\mathbb{R}^n$ همبند است.

2. هر زیر مجموعه ی همبند $\mathbb{R}^n$ که تک عضوی نیست، شمارش ناپذیر است.

3. هر زیر مجموعه ی همبند $\mathbb{R}$ یک بازه(=فاصله) است.

4. هر زیر مجموعه ی باز همبند $\mathbb{R}^n$ مجموعه ای محدب است.

حل تست:

گزینه ی 4.

فضای بین دو قرص متمایز بدون مرز هم مرکز در صفحه را در نظر بگیرید. این مجموعه در $\mathbb{R}^2$ باز و همبند است، اما محدب نیست.

موفق باشید.

تست 2 (سال 74):

اگر $A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \{[2-\frac{1}{n},4+\frac{1}{n}]\}$ آنگاه A:

1) باز است. 2) فشرده است. 3) نه باز و نه بسته است. 4) شماراست.

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که $A=[2,4]$ .

موفق باشید.

تست 3 (سال 75):

اگر $(X,d)$ یک فضای متری و A و B زیر مجموعه های X باشند، کدام گزینه صحیح است؟ ( $A^{\circ}$ درون و $\overline{A}$ بستار A است.)

1) $(A\cup B)^{\circ}\subseteq A^{\circ} \cup B^{\circ}$

2) $\overline{A} \cap B \subseteq \overline{A\cap B}$

3) $\overline{A} \cap \overline{B} \subseteq \overline{A\cap B}$

4) $\overline{A} \cap B^{\circ} \subseteq \overline{A\cap B}$

حل تست:

گزینه ی 4.

برای رد سه گزینه ی اول، فضای متری X را فضای متری اقلیدسی $\mathbb{R}$ در نظر بگیرید و فرض کنید:

$A=\mathbb{Q},\,B=\mathbb{Q}^c$

گزینه ی 4 را نیز می توانید به عنوان یک قضیه ثابت کنید.

موفق باشید.

تست 4 (سال 75):

اگر A زیر مجموعه ی یک فضای متریک باشد، کدام گزینه با سایرین معادل نیست؟

1) A یک مجموعه ی فشرده است.

2) A بسته و کراندار است.

3) هر زیر مجموعه ی نامتناهی A نقطه ی انباشتگی (حدی)دارد.

4) هر دنباله در A زیر دنباله ای همگرا به نقطه ای از A دارد.

حل تست:

گزینه ی 2.

گزینه های 1، 3 و 4 در هر فضای متری، معادلند. گزینه های 1 و 2 در فضای متری $\mathbb{R}$ با متر اقلیدسی معادلند؛ اما در فضای متری $\mathbb{Q}$ با متر اقلیدسی، زیر مجموعه ی اعداد گویا که توان دوم آن ها بین 2 و 3 است، در $\mathbb{Q}$ بسته و کراندار است اما در $\mathbb{Q}$ فشرده نیست (مساله ی 16 فصل 2 رودین).

موفق باشید.

تست 5 (سال 75):

فرض کنید که $\mathbb{R}$ مجموعه ی اعداد حقیقی و $\forall x,y\in \mathbb{R},d(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1 & x\neq y\\ 0& x=y \end{matrix}\right.$ .

فرض کنید که $\mathbb{Q}$ مجموعه ی اعداد گویا باشد.

1) $\mathbb{Q}$ در $(\mathbb{R},d)$ باز نیست.

2) $\mathbb{Q}$ همبند است.

3) $\mathbb{Q}$ در $(\mathbb{R},d)$ فشرده است.

4) $\mathbb{Q}$ در $(\mathbb{R},d)$ بسته و کراندار است.

حل تست:

گزینه ی 4.

هر زیر مجموعه ی فضای متری با متر بدیهی، هم باز و هم بسته است. بنابر این 1 درست نیست. هر زیرفضای متری همبند با حداقل دو نقطه، ناشماراست، پس 2 نیز غلط است. هر زیر مجموعه ی نامتناهی از یک مجموعه ی فشرده دارای یک نقطه ی حدی است. اما می دانیم که هر همسایگی نقطه ی q در اعداد گویا با شعاعی کمتر از 1، تک نقطه ای است و در نتیجه 3 نیز درست نیست.

تست 6 (سال 75)

اگر $Y=\{1\}\cup [2,3]\subseteq \mathbb{R}$ ، کدام یک از مجموعه های زیر در Y مجموعه ای باز است؟

1) $\{0\}$

2) $\{1\}$

3) $\{2\}$

4) $\{3\}$

حل تست:

گزینه ی 2.

توجه کنید که یک مجموعه در یک فضا باز است، اگر و فقط اگر متمم آن در آن فضا بسته باشد. متمم مجموعه ی $\{1\}$ در Y بازه ی $[2,3]$ است که در Y بسته است. (البته روش دیگر، توجه به تساوی $\{1\}=Y\cap (0,2)$ و نیز قضیه ای پرکاربرد در فضاهای متری است. چون $(0,2)$ در $\mathbb{R}$ باز است پس $\{1\}$ در Y باز بسته است.)